Trzy okręgi

Dane są trzy współśrodkowe okręgi o promieniach 1, 2, 3.
Jak wybrać na każdym z nich po jednym punkcie, aby pole powstałego trójkąta było największe?

Podział kwadratu

Podzielić kwadrat na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach.

(Wskazówka: To jest niemożliwe. Jak tego dowieść?)

Podał: Edmund Puczyłowski

Żrąca ciecz

Pewien szalony naukowiec wymyślił substancję, która przeżera wszystko, co tylko jest. Chciał się pochwalić swoim osiągnieciem na sympozjum naukowym w innym miescie. Oczywiście przewiezienie mikstury w jakimkolwiek pojemniku było niemożliwe. Aby ją przetransportować wymyślił chytry sposób. Zamiast gotowej substancji wziął sporządzone przez siebie pewne dwie substancje, które same nie są szkodliwe, ale po zmieszaniu dają wynalezioną żrąca ciapę. Niestety, nie poszło tak gladko, jak to sobie profesor obmyślil. Na miejscu okazało się, że oprócz wspomnianych dwóch substancji zaplątała mu się jeszcze jedna nieznana substancja. Wszystkie trzy pojemniki i ich zawartość są ludząco podobne (ni chu chu nierozróżnialne). Na domiar złego wynalazek powstanie tylko po zmieszaniu dwóch odpowiednich substratow w całości (to znaczy, że nie wolno ich dzielić, by sprawdzić, co powstanie). Na szczęście po zmieszaniu nieodpowiednich substancji nie powstaje nic interesującego (wybuchowego, toksycznego, itp.). Jak uzyskać żrąca ciecz?

Podał: Marcin Berkowski

Inteligentne maszyny

Trzy inteligentne maszyny odpowiadają na zadawane im pytania, ale mówią tylko TAK lub NIE. Jedna z maszyn zawsze mówi prawdę, ale pozostałe są wadliwe - jedna z nich zawsze kłamie, a druga odpowiada losowo - prawdziwie lub fałszywie. Jak, zadając każdej maszynie jedno (to samo) pytanie, uzyskać odpowiedzi, które pozwolą rozstrzygnąć, co dolega której z nich?

Podał: MM

Myśliciele 3

M i N są liczbami naturalnymi większymi od 1 i mniejszymi niż 100.
Sokrates zna jedynie sumę S tych liczb, a Platon zna jedynie ich iloczyn P.

Platon: Nie wiem o jakie liczby chodzi.
Sokrates: Ja również nie wiem jakie to liczby.
Platon: Nadal nie wiem jakie to liczby.
Sokrates: Ja też nadal nie wiem.
Platon: Nadal nie wiem jakie to liczby.
Sokrates: Ja też nie wiem.
Platon: A ja już teraz wiem jakie to liczby.

A czy Ty teraz wiesz jakie to liczby?

Podał: Janusz Wojtal

Myśliciele 2

M i N są liczbami naturalnymi większymi od 1 i mniejszymi niż 100.
Sokrates zna jedynie sumę S tych liczb, a Platon zna jedynie ich iloczyn P.

Platon: Nie wiem, o jakie liczby chodzi.
Sokrates: Wiedziałem, że nie będziesz wiedział jakie to liczby. Ja również nie wiem, jakie to liczby.
Platon: Nadal nie wiem jakie to liczby.
Sokrates: A ja już teraz wiem jakie to liczby.

A czy Ty teraz wiesz jakie to liczby?

Podał: Janusz Wojtal

Alicja na Konwencji Logików

Alicja przechadzała się właśnie wyłożonymi kamieniem ścieżkami rozległego lasu Krainy Czarów, gdy z pobliskiego prześwitu doszły ją jakieś odgłosy. Będąc osobą ciekawą wdrapała się na rosnące opodal drzewo i stała się świadkiem następującej sceny...

Dookoła olbrzymiego stołu zgromadziło się 31 ludzi. Naprzeciw nich stał Mówca, zabawny, odziany w szkarłatną tunikę profesor z krótką, białą brodą. Gestem uciszył on zebranych i wygłosił najprzedziwniejszą mowę, jaką Alicji kiedykolwiek zdarzyło się słyszeć.

- Koledzy logicy. My, najbardziej zdyscyplinowane i ścisłe umysły Krainy Czarów, zgromadziliśmy się tu dzisiaj na naszej 125-tej dorocznej konwencji. Usłyszeć będziemy mogli zadziwiające baśnie logiki, myśleć będziemy o rzeczach dla zwykłych śmiertelników niepomyślanych, przemierzymy zbocza Gór Nieskończonych Dociekań i najbardziej wymagające Szlaki Intelektu. Lecz wprzód musimy upewnić się, że żaden intruz nie ukrywa się w naszym kręgu.

Po czym profesor ruszył dookoła stołu, każdemu mijanemu logikowi przylepiając do czoła niewielką kolorową kropkę. Powróciwszy do swego miejsca u szczytu stołu, rozpoczął objaśnianie zasad tego cudacznego eksperymentu.

- Każdy z was widzi kropki na czołach wszystkich swych kolegów, ale byłem ostrożny, aby nikt nie dostrzegł koloru swej własnej. Zadaniem każdego z was jest odgadnąć kolor, jakim jest oznaczone jego czoło.

- Tylko jedna jest reguła i jest ona prosta. Każdej minuty ten dzwonek wyda dźwięk. Jeśli w chwili dzwonka ktoś z was znał będzie kolor kropki, którą nosi, niech wstanie od stołu i dołączy do mnie na sąsiedniej polanie, gdzie konwencja będzie toczyć się dalej. Jeśli jednak jego kolor jest mu wciąż nieznany, niech pozostanie przy stole.

- Ten, kto pozostanie przy stole, gdy powinien był wstać, albo też wstanie gdy raczej powinien był siedzieć, nie może rzecz jasna tytułować się logikiem. Ktoś taki usunięty będzie z tej konwencji, z nieodwołalnym zakazem powrotu.

Profesor zamierzał już odejść, gdy jego uwagę zwróciło wyraźne zakłopotanie najbystrzejszego z nowicjuszy. Jego wątpliwości rozproszył tymi słowy:

- Nie obawiaj się młodzieńcze. Jest możliwym rozwiązać to zadanie. Choć, oczywiście, nie wolno wam w żaden sposób porozumiewać się ze sobą.

Nowicjusz uśmiechnął się, gdyż Mówca Zgromadzenia Najbardziej Zdyscyplinowanych i Ścisłych Umysłów Krainy Czarów nie może wygłaszać zdań fałszywych.

Na oczach zdziwionej już do wszelkich granic Alicji, profesor opuścił zgromadzenie i eksperyment się rozpoczął.

Na pierwszy dzwonek opuściły stół cztery osoby. Na drugi, wszyscy z czerwonymi kropkami wstali razem i wyszli. Przy trzecim nie poruszył się nikt, podczas gdy na czwarty zareagowała przynajmniej jedna osoba. Wspomniany już nowicjusz oraz jego obecna siostra, oboje z kropkami innego koloru, wstali krótko potem, ale każde wcześniej, niż za ostatnim dzwonkiem.

Znużoną długimi mowami Alicję ogarnął głęboki sen zanim test dobiegł końca. Czy możesz wyjawić jej, ile razy rozległ się dzwonek, zanim stół opustoszał?

Podał: Piotr z Kluczborka

Punkt minimalny

Znaleźć w trójkącie punkt o najmniejszej sumie odległości od boków i wierzchołków.

Podał: MM

Ucieczka

Kot siedzący w środku kwadratu został otoczony przez cztery wilczury znajdujące się w wierzchołkach tego kwadratu. Jaki musi być stosunek szybkości kota do szybkości psa, żeby udało mu się uciec z pułapki?

Podał: Lech Stawikowski

Kula w kuli

Wyznaczyć maksymalną liczbę jednakowych kul o promieniu r, jakie można umieścić w naczyniu o kształcie kuli o promieniu R.

Wycinanka


Jedną z figur pociąć na takie cztery części, aby (bez odwracania) ułożyć z nich drugą figurę.

Podał: Marek Kordos

Pieski problem

Stary, ślepy pies Azor usłyszał w pewnym momencie miauknięcie równie starego (więc i niedowidzącego) Bonifacego. Wydał w tym momencie głośne szczeknięcie i rzucił się w pogoń. Bonifacy ucieka po linii prostej, a Azor zlokalizował tylko jego początkowe położenie. Czy biegnąc z niewiele większą od kota szybkością Azor ma szanse na złapanie go? Jaka powinna być strategia pościgu?

Podał: Lech Stawikowski

Zadanie 2004

Czy wstawiając pomiędzy cyfry 2 0 0 4 znaki działań lub nawiasy, można w wyniku otrzymać dowolną liczbę naturalną? Nie wolno przestawiać cyfr, używać cyfr dodatkowych (np. jako wykładników), ani liter (co wyklucza np. wprowadzenie funkcji log czy sin). Wskazówki w numerze 3/04.

Podał: red.

Trzy boginie

Trzy boginie, Prawda, Kłamstwo i Los odpowiadają na pytania w swoim języku. Mówią tylko DA i JA, które odpowiadają słowom TAK i NIE, jednak nie wiesz które któremu. Prawda zawsze mówi prawdę, Kłamstwo zawsze kłamie, a Los czasem mówi prawdę, czasem kłamie. Musisz za pomocą trzech pytań okreśłić która z bogiń to która. Każde pytanie może być skierowane tylko do jednej bogini.

Zagadkę wymyślił Raymond Smullyan, a zmodyfikował John McCarthy. Zadanie zostało uznane za najtrudniejszą zagadkę świata.

Rozwiązanie w MMM nr 4(9)/2004

Uczelniany konkurs

Na pewnej uczelni studiują trzy rodzaje studentów: Matematycy, którzy mówia wyłacznie zdania logiczne prawdziwe. Filozofowie, którzy mówia wyłacznie zdania logiczne fałszywe. Logicy, którzy mówia zdania logiczne prawdziwe lub fałszywe. W konkursie zorganizowanym przez rektora wygra ten student, który w najmniejszej liczbie zdań przekona go, że nie jest logikiem. Ile, i jakie zdania, wypowiedział zwycięzca???

Podał: Piotr z Milicza

Kłopotliwy wzór

W poniższym wzorze należy zastąpić litery cyframi (każdej można użyć tylko raz):

(mianowniki należy interpretować jako liczby dwucyfrowe).

Problem postawił: Nob Yoshigahara (Japonia)

Myśliciele 1

M i N są liczbami naturalnymi większymi od 1 i mniejszymi niż 100.
Sokrates zna jedynie sumę S tych liczb, a Platon zna jedynie ich iloczyn P.

Platon: Nie wiem, o jakie liczby chodzi.
Sokrates: Wiedziałem, że nie będziesz wiedział jakie to liczby. Ja również nie wiem, jakie to liczby.
Platon: Teraz już wiem, jakie to liczby.
Sokrates: Ja też teraz już wiem.

A czy Ty wiesz?

Podał: Piotr z Milicza